可以开罚单的单位和组织包括：
具有法定行政处罚权的行政机关
各级人民政府
公安、工商、税务、土地、审计、卫生等部门
法律、法规授权的具有管理公共事务职能的组织
工商所、税务所、公安派出所等行政机关的派出机构
受行政机关委托行使一定行政处罚权的受托组织
受委托的组织必须在授权法规定的行政处罚的种类、幅度范围内实施行政处罚
特定领域的综合行政执法机构
城市管理、市场监管、生态环境、文化市场、交通运输、应急管理、农业等领域的综合行政执法机构
公安机关
县级以上的公安机关及其派出机构，如公安派出所，有权对违法行为进行处罚，包括警告和罚款
其他执法机构
根据特定法律法规设立的执法机构，如市场监督管理综合行政执法队
总结来说，可以开罚单的单位和组织主要分为具有法定行政处罚权的行政机关、法律或法规授权的组织、受委托的组织以及特定领域的综合行政执法机构。公安机关作为执法机关的一种，也有权开具罚单。